Вопрос школьника
Стороны угла А касаются окружности с центром О радиуса г. Найдите: а) ОА, если r=5см, уголА= 60°; б) r, если ОА = 14 дм, угол A = 90°.
Ответ от учителя
а) Для решения задачи нам нужно использовать свойство касательных, которое гласит: касательная к окружности в точке касания перпендикулярна радиусу, проведенному в эту точку.
Таким образом, мы можем провести радиус ОВ, который будет перпендикулярен касательной АВ. Также, мы знаем, что угол АОВ равен половине угла А, то есть 30°.
Теперь мы можем применить теорему косинусов для треугольника ОАВ:
ОА² = ОВ² + ВА² — 2ОВ·ВА·cos(30°)
ОВ равен радиусу г, то есть 5 см.
ВА также равно радиусу г, то есть 5 см.
cos(30°) равен √3/2.
Подставляем все значения:
ОА² = 5² + 5² — 2·5·5·√3/2
ОА² = 25 + 25 — 25√3
ОА² = 50 — 25√3
ОА ≈ 2,89 см
б) Мы можем использовать теорему Пифагора для треугольника ОАВ:
ОВ² + ВА² = ОА²
Мы знаем, что угол А равен 90°, поэтому ОВ и ВА являются катетами, а ОА — гипотенузой.
Подставляем известные значения:
ОВ² + ВА² = 14²
ОВ² + ВА² = 196
Также мы знаем, что ОВ и ВА равны радиусу г, то есть r.
2r² = 196
r² = 98
r ≈ 9,90 см
Ответ:
а) ОА ≈ 2,89 см
б) r ≈ 9,90 см
