Вопрос школьника
Стороны угла О касаются каждой из двух окружностей, имеющих общую касательную в точке А. Докажите, что центры этих окружностей лежат на прямой ОА.
Ответ от учителя
Пусть даны две окружности с центрами O1 и O2, касающиеся стороны ОК угла О в точках M и N соответственно, а также касающиеся друг друга в точке А.
Так как точка А является точкой касания обеих окружностей, то она лежит на общей касательной к этим окружностям.
Рассмотрим треугольник ОАМ. Он является прямоугольным, так как сторона ОК угла О является его гипотенузой, а касательная ОА к окружности O1 является его высотой.
Таким образом, по теореме Пифагора, ОМ^2 = ОА^2 — АМ^2.
Аналогично, для треугольника ОАN имеем ОN^2 = ОА^2 — АN^2.
Сложим эти два уравнения: ОМ^2 + ОN^2 = 2ОА^2 — (АМ^2 + АN^2).
Заметим, что АМ = АН, так как это общая касательная к окружностям. Тогда АМ^2 + АN^2 = 2АМ^2.
Подставим это выражение в предыдущее уравнение: ОМ^2 + ОN^2 = 2ОА^2 — 2АМ^2.
Таким образом, ОМ^2 — ОА^2 + АМ^2 = ОН^2 — ОА^2 + АМ^2.
Выразим ОМ^2 — ОА^2 и ОН^2 — ОА^2 через расстояния от центров окружностей до точки касания А:
ОМ^2 — ОА^2 = МА^2 — ОА^2 = МА^2 — АN^2 = ОН^2 — ОА^2.
Таким образом, ОМ^2 — ОА^2 = ОН^2 — ОА^2, что означает, что расстояния от центров окружностей до точки касания А равны.
Следовательно, центры окружностей лежат на перпендикулярной биссектрисе угла ОК, проходящей через точку А. Но так как точка О также лежит на этой биссектрисе, то центры окружностей лежат на прямой ОА.
Таким образом, мы доказали, что центры окружностей, касающихся стороны ОК угла О и имеющих общую касательную в точке А, лежат на прямой ОА.
