Вопрос школьника
Стрелок делает по мишени три выстрела. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна 0,3. Построить ряд распределения числа попаданий и вычислить математическое ожидание и дисперсию указанной случайной величины.
Ответ от учителя
Для построения ряда распределения числа попаданий необходимо рассмотреть все возможные комбинации попаданий и промахов при трех выстрелах:
— 3 попадания: P(3) = 0,3^3 = 0,027
— 2 попадания: P(2) = 3 * 0,3^2 * 0,7 = 0,189
— 1 попадание: P(1) = 3 * 0,3 * 0,7^2 = 0,441
— 0 попаданий: P(0) = 0,7^3 = 0,343
Таким образом, ряд распределения числа попаданий будет выглядеть следующим образом:
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| — | — | — | — | — |
| P(X) | 0,343 | 0,441 | 0,189 | 0,027 |
Для вычисления математического ожидания необходимо умножить каждое значение X на соответствующую вероятность и сложить полученные произведения:
E(X) = 0 * 0,343 + 1 * 0,441 + 2 * 0,189 + 3 * 0,027 = 0,9
Таким образом, математическое ожидание числа попаданий равно 0,9.
Для вычисления дисперсии необходимо вычислить сначала среднее квадратическое отклонение (σ) по формуле:
σ = sqrt(∑(X-E(X))^2 * P(X))
где ∑ — сумма по всем значениям X.
Подставляя значения из ряда распределения числа попаданий, получим:
σ = sqrt((0-0,9)^2 * 0,343 + (1-0,9)^2 * 0,441 + (2-0,9)^2 * 0,189 + (3-0,9)^2 * 0,027) ≈ 0,96
Далее, дисперсия вычисляется по формуле:
D(X) = σ^2
Таким образом, дисперсия числа попаданий равна примерно 0,92.
