Вопрос школьника
Сума всіх ребер прямокутного паралелепіпеда дорівнює 288 см, причому висота вдвічі менша від ширини і втричі менша від довжини. Знайди площу поверхні цього паралелепіпеда.
Ответ от учителя
Пусть длина, ширина и высота прямоугольного параллелепипеда равны $l$, $w$ и $h$ соответственно. Тогда сумма всех ребер равна $4(l+w+h)$. Из условия задачи известно, что $h=frac{w}{2}$ и $h=frac{l}{3}$. Подставляя эти значения в формулу для суммы всех ребер, получаем:
$$4(l+w+h)=4(l+w+frac{w}{2}+frac{l}{3})=frac{22}{3}(l+w)$$
Таким образом, $frac{22}{3}(l+w)=288$, откуда $l+w=frac{432}{11}$. Чтобы найти площадь поверхности параллелепипеда, нужно найти площадь всех его граней и сложить их. Площадь каждой грани равна произведению соответствующих сторон. Таким образом, площадь поверхности параллелепипеда равна:
$$2lw+2lh+2wh=2(lw+lh+wh)=2cdotfrac{1}{6}(l+w)h(l+w)=frac{1}{3}(l+w)h^2$$
Подставляя значения $l+w$ и $h$ из предыдущих вычислений, получаем:
$$frac{1}{3}cdotfrac{432}{11}cdotfrac{1}{4}cdotfrac{432}{121}=frac{12cdot36}{11cdot121}=frac{432}{1331}$$
Таким образом, площадь поверхности параллелепипеда равна $frac{432}{1331}$ квадратных сантиметров.
