Вопрос школьника
Сумма диагоналей четырёхугольника равна 28 см. Найдите периметр четырёхугольника, вершины которого являются серединами сторон данного четырёхугольника.
Ответ от учителя
Пусть ABCD — исходный четырехугольник, а E, F, G, H — середины его сторон. Тогда по свойству серединного перпендикуляра диагонали AC и BD перпендикулярны и пересекаются в точке O, которая является центром окружности, описанной вокруг ABCD. Также известно, что сумма диагоналей равна 28 см, то есть AC + BD = 28.
По свойству серединного перпендикуляра стороны EF и GH параллельны диагоналям AC и BD соответственно, а значит, они также параллельны между собой. Таким образом, получаем, что EFGH — параллелограмм.
Так как EFGH — параллелограмм, то его диагонали пересекаются в их середине, то есть в точке O. Таким образом, диагонали EJ и FH проходят через точку O. По свойству параллелограмма диагонали EJ и FH делят друг друга пополам, а значит, EO = OJ и FO = OH.
Теперь рассмотрим треугольники AEO и CEO. Они являются прямоугольными, так как OE — высота, опущенная на гипотенузу AC. Также известно, что EO = OJ, а значит, треугольники AEO и CEO равны по гипотенузе и катету. Аналогично можно доказать, что треугольники BFO и DHO равны.
Таким образом, получаем, что периметр четырехугольника EFGH равен сумме периметров треугольников AEO, CEO, BFO и DHO. Периметр каждого из этих треугольников равен сумме длин сторон, то есть:
AE + EO + AC + CE = AE + OJ + AC + CO = (AE + AC) + (OJ + CO) = AO + OC + AC
Аналогично для треугольников BFO и DHO получаем, что их периметры равны BO + OD + BD и BF + FD + AB соответственно.
Так как AC + BD = 28, то AO + OC + BO + OD + BF + FD + AB = 2(AC + BD) = 56. Но AO + OC + BO + OD = AC + BD = 28, а BF + FD + AB = BC + AD = периметр исходного четырехугольника. Таким образом, периметр четырехугольника EFGH равен 56 минус периметр исходного четырехугольника.
