Вопрос школьника
Сумма двух противоположных сторон описанного четырёхугольника равна 10 см, а его площадь — 12 см2. Найдите радиус окружности, вписанной в этот четырёхугольник.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам понадобится знание формулы площади четырёхугольника:
S = (p-a)(p-b)(p-c)(p-d),
где S – площадь четырёхугольника, a, b, c, d – длины его сторон, p – полупериметр (полусумма длин сторон):
p = (a+b+c+d)/2.
Также нам понадобится знание формулы для радиуса вписанной окружности в четырёхугольник:
r = S/p,
где r – радиус вписанной окружности.
Итак, у нас дано, что сумма двух противоположных сторон равна 10 см. Пусть эти стороны имеют длины a и c. Тогда оставшиеся две стороны имеют длины b и d, и также равны между собой (ведь четырёхугольник описанный, то есть вписан в окружность, и поэтому противоположные стороны равны).
Таким образом, имеем систему уравнений:
a + c = 10,
b = d,
a + b + c + d = 2p.
Из первого уравнения находим, что d = 10 — a — c. Подставляем это во второе уравнение и получаем:
a + b + c + (10 — a — c) = 2p,
b = p — 5.
Теперь можем выразить площадь четырёхугольника через длины его сторон:
S = (p-a)(p-b)(p-c)(p-d) = (p-a)(p-(p-5))(p-c)(p-(10-a-c)).
Подставляем в эту формулу выражения для b и d:
S = (p-a)(5)(p-c)(10-a-c).
Теперь можем выразить радиус вписанной окружности через площадь и полупериметр:
r = S/p = (p-a)(5)(p-c)(10-a-c)/(a+b+c+d)/2.
Подставляем в эту формулу выражения для b и d:
r = (p-a)(5)(p-c)(10-a-c)/(2p).
Упрощаем выражение:
r = 5(p-a)(p-c)/(2p).
Теперь осталось выразить полупериметр через площадь и длины сторон. Для этого воспользуемся формулой для площади четырёхугольника:
S = (p-a)(p-b)(p-c)(p-d) = sqrt((p-a)(p-b)(p-c)(p-d)) * sqrt((p-a)(p-b)(p-c)(p-d)).
Выражаем из этой формулы полупериметр:
p = sqrt((p-a)(p-b)(p-c)(p-d))/sqrt(S).
Подставляем это выражение в формулу для радиуса вписанной окружности:
r = 5(p-a)(p-c)/(2p) = 5(p-a)(p-c)/(2sqrt((p-a)(p-b)(p-c)(p-d))/sqrt(S)).
Упрощаем выражение:
r = 5sqrt(S)(p-a)(p-c)/sqrt((p-a)(p-b)(p-c)(p-d)).
Таким образом, мы получили формулу для радиуса вписанной окружности в четырёхугольник, заданный длинами двух противоположных сторон и площадью. Осталось только подставить известные значения и вычислить ответ.
