Вопрос школьника
Сумма двух сторон треугольника, образующих угол 120°, равна 8 см, а длина третьей стороны составляет 7 см. Найдите неизвестные стороны треугольника.
Ответ от учителя
Для решения задачи воспользуемся законом косинусов, который гласит:
$c^2 = a^2 + b^2 — 2abcosgamma$
где $a$, $b$, $c$ — стороны треугольника, $gamma$ — угол между сторонами $a$ и $b$.
В нашем случае известны:
$a + b = 8$ (сумма двух сторон, образующих угол 120°, равна 8 см)
$c = 7$ (длина третьей стороны)
$gamma = 120^circ$ (угол между сторонами $a$ и $b$)
Тогда подставляем известные значения в формулу:
$7^2 = a^2 + b^2 — 2abcos120^circ$
$49 = a^2 + b^2 + ab$
Теперь нам нужно найти два неизвестных значения $a$ и $b$. Для этого воспользуемся системой уравнений:
$begin{cases} a + b = 8 \ a^2 + b^2 + ab = 49 end{cases}$
Решаем первое уравнение относительно $b$:
$b = 8 — a$
Подставляем это выражение во второе уравнение:
$a^2 + (8 — a)^2 + a(8 — a) = 49$
$a^2 + 64 — 16a + a^2 + 8a — a^2 = 49$
$2a^2 — 8a + 15 = 0$
Решаем квадратное уравнение:
$a_{1,2} = frac{8 pm sqrt{8^2 — 4 cdot 2 cdot 15}}{2 cdot 2} = frac{4 pm sqrt{7}}{2}$
Таким образом, получаем два возможных значения сторон треугольника:
$a_1 = frac{4 + sqrt{7}}{2}$, $b_1 = frac{4 — sqrt{7}}{2}$
$a_2 = frac{4 — sqrt{7}}{2}$, $b_2 = frac{4 + sqrt{7}}{2}$
Проверяем, что оба набора значений удовлетворяют условиям задачи:
$a_1 + b_1 = frac{4 + sqrt{7}}{2} + frac{4 — sqrt{7}}{2} = 8$
$a_1^2 + b_1^2 + a_1b_1 = frac{7 + 8sqrt{7}}{2} + frac{7 — 8sqrt{7}}{2} + frac{1}{4}(4 — 7) = 49$
$a_2 + b_2 = frac{4 — sqrt{7}}{2} + frac{4 + sqrt{7}}{2} = 8$
$a_2^2 + b_2^2 + a_2b_2 = frac{7 — 8sqrt{7}}{2} + frac{7 + 8sqrt{7}}{2} + frac{1}{4}(4 — 7) = 49$
Таким образом, ответ: неизвестные стороны треугольника равны $frac{4 + sqrt{7}}{2}$ и $frac{4 — sqrt{7}}{2}$ (или $frac{4 — sqrt{7}}{2}$ и $frac{4 + sqrt{7}}{2}$).
