Вопрос школьника
Сумма катета AC и гипотенузы AB треугольника ABC равна 18 дм, а их разность — 8 дм. Найдите расстояния от вершин A, B, C до прямых, проходящих через противолежащие стороны треугольника
Ответ от учителя
Для решения задачи нам понадобится использовать теорему Пифагора для прямоугольного треугольника. Пусть AC и AB — катет и гипотенуза треугольника ABC соответственно, тогда:
AB^2 = AC^2 + BC^2
Также из условия задачи известно, что:
AC + AB = 18
AB — AC = 8
Решим систему уравнений, выразив AC и AB через BC:
AC = (AB — 8)/2
AB = (AC + 18)/2
Подставим эти выражения в теорему Пифагора:
(AC + 18)^2/4 = AC^2 + BC^2
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
AC^2 + 18AC + 81/4 = AC^2 + BC^2
BC^2 = 18AC — 81/4
Теперь можем выразить расстояния от вершин до прямых, проходящих через противолежащие стороны. Пусть hA, hB, hC — расстояния от вершин A, B, C до прямой, проходящей через BC. Тогда:
hA = 2S/BC, где S — площадь треугольника ABC
hB = 2S/AC
hC = 2S/AB
Площадь треугольника можно выразить через полупериметр p:
S = √(p(p-AB)(p-AC)(p-BC))
где p = (AB + AC + BC)/2
Подставим выражения для AB и AC:
p = (AB + AC + BC)/2 = (AC + 18)/4 + (AB — 8)/4 + BC/2 = (2BC + AC + AB + 10)/4
S = √((2BC + AC + AB + 10)/4 * (2BC — AC + AB — 10)/4 * (2BC + AC — AB — 10)/4 * (-2BC + AC + AB + 10)/4)
Теперь можем выразить hA, hB, hC через BC:
hA = 2S/BC = √((2BC + AC + AB + 10)/2 * (2BC — AC + AB — 10)/2 * (2BC + AC — AB — 10)/2 * (-2BC + AC + AB + 10)/2) / BC
hB = 2S/AC = √((2BC + AC + AB + 10)/2 * (2BC — AC + AB — 10)/2 * (2BC + AC — AB — 10)/2 * (-2BC + AC + AB + 10)/2) / AC
hC = 2S/AB = √((2BC + AC + AB + 10)/2 * (2BC — AC + AB — 10)/2 * (2BC + AC — AB — 10)/2 * (-2BC + AC + AB + 10)/2) / AB
Теперь осталось только подставить значения AC и AB через BC и упростить выражения:
hA = √(BC^2 — 81/4)
hB = √(BC^2 + 49/4)
hC = √(BC^2 — 25)
Таким образом, мы получили выражения для расстояний от вершин треугольника до прямых, проходящих через противолежащие стороны, через длину боковой стороны BC.
