Вопрос школьника
Сумма квадратов трех последовательных натуральных четных чисел равна 116. Найдите эти числа. 2) Сумма квадратов трех последовательных натуральных чисел равна 302. Найдите эти числа.
Ответ от учителя
1) Пусть первое четное число равно $2n$, тогда второе будет $2n+2$, а третье $2n+4$. Тогда сумма квадратов этих чисел будет равна $(2n)^2 + (2n+2)^2 + (2n+4)^2 = 4n^2 + 4n^2 + 8n + 4 + 16n^2 + 32n + 16 = 24n^2 + 8n + 20$.
Таким образом, уравнение $24n^2 + 8n + 20 = 116$ дает $n^2 + frac{1}{3}n — 3 = 0$. Решая это квадратное уравнение, получаем $n = 2$ или $n = -frac{3}{2}$. Отрицательное значение $n$ не подходит, так как мы ищем натуральные числа, поэтому первое четное число равно $2cdot2 = 4$, второе $2cdot2+2 = 6$, а третье $2cdot2+4 = 8$.
Таким образом, искомые числа равны 4, 6 и 8.
2) Пусть первое число равно $n$, тогда второе будет $n+1$, а третье $n+2$. Тогда сумма квадратов этих чисел будет равна $n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2 = 3n^2 + 6n + 5$.
Таким образом, уравнение $3n^2 + 6n + 5 = 302$ дает $n^2 + 2n — 99 = 0$. Решая это квадратное уравнение, получаем $n = 9$ или $n = -11$. Отрицательное значение $n$ не подходит, так как мы ищем натуральные числа, поэтому первое число равно 9, второе $9+1=10$, а третье $9+2=11$.
Таким образом, искомые числа равны 9, 10 и 11.
