Вопрос школьника
Сумма площадей квадратов, построенных на диагоналях равнобокой трапеции, в восемь раз больше площади трапеции. Найдите угол между диагоналями трапеции.
Ответ от учителя
Пусть основания трапеции равны $a$ и $b$, а диагонали равны $d_1$ и $d_2$. Тогда площадь трапеции равна $S=frac{(a+b)h}{2}$, где $h$ — высота трапеции.
Построим квадраты на диагоналях трапеции. Площадь каждого квадрата равна $d_i^2$, где $i=1,2$.
Согласно условию задачи, сумма площадей квадратов в восемь раз больше площади трапеции:
$$d_1^2 + d_2^2 = 8S$$
Выразим высоту трапеции через основания и диагонали:
$$h = sqrt{d_1^2 — left(frac{a-b}{2}right)^2} = sqrt{d_2^2 — left(frac{a+b}{2}right)^2}$$
Подставим это выражение для $h$ в формулу для площади трапеции:
$$S = frac{(a+b)}{2}sqrt{d_1^2 — left(frac{a-b}{2}right)^2} = frac{(a+b)}{2}sqrt{d_2^2 — left(frac{a+b}{2}right)^2}$$
Возводим обе части уравнения в квадрат:
$$(a+b)^2d_1^2 — frac{(a-b)^2}{4}(a+b)^2 = (a+b)^2d_2^2 — frac{(a+b)^2}{4}(a+b)^2$$
Упрощаем:
$$d_1^2 — d_2^2 = frac{3}{2}(a^2 — b^2)$$
Заметим, что $d_1^2 — d_2^2 = (d_1 + d_2)(d_1 — d_2)$. Подставим это выражение и выражение для $S$ в уравнение $d_1^2 + d_2^2 = 8S$:
$$(d_1 + d_2)(d_1 — d_2) = frac{3}{2}(a^2 — b^2)$$
$$frac{2(d_1 + d_2)}{a+b}cdotfrac{2(d_1 — d_2)}{a-b} = 3$$
Обозначим $alpha$ — угол между диагоналями трапеции. Тогда:
$$frac{d_1}{a} = frac{d_2}{b} = cosalpha$$
$$frac{d_1}{b} = frac{d_2}{a} = sinalpha$$
Подставим это в выражение для $frac{d_1+d_2}{a+b}$ и $frac{d_1-d_2}{a-b}$:
$$frac{d_1+d_2}{a+b} = frac{2cosalpha}{1+cosalpha}$$
$$frac{d_1-d_2}{a-b} = frac{2sinalpha}{1-cosalpha}$$
Подставим это в уравнение $frac{2(d_1 + d_2)}{a+b}cdotfrac{2(d_1 — d_2)}{a-b} = 3$:
$$frac{8cosalphasinalpha}{1-cos^2alpha} = 3$$
$$frac{4sin2alpha}{1+cos2alpha} = 3$$
$$4sin2alpha = 3 + 3cos2alpha$$
$$4sin2alpha = 6cos^2alpha$$
$$2sin2alpha = 3cos^2alpha$$
$$tan2alpha = frac{2sin2alpha}{1-cos2alpha} = frac{3}{2}$$
Из этого уравнения находим угол $alpha$:
$$alpha = frac{1}{2}arctanfrac{3}{2} approx 35.54^circ$$
Ответ: угол между диагоналями трапеции равен примерно $35.54^circ$.
