Вопрос школьника
Сумма трех внутренних и одиннадцати внешних углов правильного многоугольника равна 684°. Найдите количество сторон этого многоугольника.
Ответ от учителя
Правильный многоугольник имеет равные стороны и равные внутренние углы. Поэтому каждый внутренний угол равен 180° минус угол между соседними сторонами, который равен 360°/n, где n — количество сторон многоугольника. Таким образом, каждый внутренний угол равен (180° — 360°/n) градусов.
Аналогично, каждый внешний угол равен углу между соседними сторонами, то есть 360°/n градусов.
Сумма трех внутренних углов равна 3(180° — 360°/n) = 540° — 1080°/n.
Сумма одиннадцати внешних углов равна 11(360°/n) = 3960°/n.
Из условия задачи получаем уравнение:
540° — 1080°/n + 3960°/n = 684°
Решая это уравнение, получаем:
3240°/n = 156°
n = 20
Ответ: количество сторон этого многоугольника равно 20.
