Вопрос школьника
Сумма углов при верхнем основании трапеции равна 270°. Докажите, что точка пересечения продолжения боковых сторон и середины оснований трапеции лежат на одной прямой.
Ответ от учителя
Для начала, рассмотрим трапецию ABCD, где AB и CD — основания, а BC и AD — боковые стороны. Пусть точка пересечения продолжения боковых сторон находится в точке E, а середины оснований — в точках M и N соответственно.
Так как сумма углов при верхнем основании трапеции равна 270°, то угол B + угол C = 90°. Также, угол A + угол D = 180°, так как это сумма углов противоположных вершин.
Рассмотрим треугольник ABE. Угол AEB равен 180° — угол BAE — угол ABE. Так как угол BAE равен углу C, а угол ABE равен углу D, то получаем, что угол AEB равен 180° — C — D.
Аналогично, рассмотрим треугольник CDE. Угол CED равен 180° — угол CDE — угол ECD. Так как угол CDE равен углу B, а угол ECD равен углу A, то получаем, что угол CED равен 180° — A — B.
Так как угол B + угол C = 90°, то угол AEB + угол CED = 180°. То есть, (180° — C — D) + (180° — A — B) = 180°, что эквивалентно уравнению A + B + C + D = 360°.
Таким образом, мы доказали, что сумма углов трапеции равна 360°. А это значит, что точка пересечения продолжения боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой, так как они делят каждый угол трапеции на две равные части.
