Вопрос школьника
Существует ли такое значение а, при котором уравнение
х^2 — ах + а — 4 = 0:
а) не имеет корней; б) имеет один корень; в) имеет два корня?
Ответ от учителя
а) Не имеет корней: для того, чтобы уравнение не имело корней, дискриминант должен быть отрицательным. Дискриминант уравнения х^2 — ах + а — 4 равен D = а^2 — 4(а — 4) = а^2 — 4а + 16. Для того, чтобы D был отрицательным, необходимо выполнение неравенства а^2 — 4а + 16 < 0. Решив это неравенство, получим: а < 2 - 2√3 или а > 2 + 2√3. Таким образом, при значениях а в интервалах (-∞; 2 — 2√3) и (2 + 2√3; +∞) уравнение не имеет корней.
б) Имеет один корень: для того, чтобы уравнение имело один корень, дискриминант должен быть равен нулю. Решив уравнение D = 0, получим: а = 2 ± 2. Таким образом, при значениях а = 4 и а = 0 уравнение имеет один корень.
в) Имеет два корня: для того, чтобы уравнение имело два корня, дискриминант должен быть положительным. Решив неравенство D > 0, получим: а^2 — 4а + 16 > 0. Это неравенство выполнено для всех значений а, так как дискриминант не может быть отрицательным при любом значении а. Таким образом, уравнение всегда имеет два корня.
