Вопрос школьника
Существуют ли значения аргумента, при которых: а) функция у = х^2 + 7х + 15 принимает значение, равное 5; б) функция у = х^2 — 1 принимает значение, равное -4; в) функция у = х^4 + Зх^2 — 1 принимает значение, равное 3; г) функция у = 1/3х^3 +1 принимает значение, равное -10?
Ответ от учителя
а) Для того, чтобы функция $y=x^2+7x+15$ принимала значение, равное 5, необходимо решить уравнение $x^2+7x+15=5$. Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения и получим квадратное уравнение $x^2+7x+10=0$. Решим его с помощью формулы дискриминанта: $D=7^2-4cdot1cdot10=9$, $x_{1,2}=frac{-7pmsqrt{9}}{2cdot1}=-5,-2$. Значит, функция $y=x^2+7x+15$ принимает значение 5 при $x=-5$ или $x=-2$.
б) Аналогично предыдущему пункту, для того, чтобы функция $y=x^2-1$ принимала значение, равное -4, необходимо решить уравнение $x^2-1=-4$. Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения и получим квадратное уравнение $x^2+3=0$. Очевидно, что это уравнение не имеет действительных корней, значит, функция $y=x^2-1$ не принимает значение -4.
в) Для того, чтобы функция $y=x^4+3x^2-1$ принимала значение, равное 3, необходимо решить уравнение $x^4+3x^2-1=3$. Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения и получим квадратное уравнение $x^4+3x^2-4=0$. Заметим, что это уравнение можно решить как квадратное относительно $x^2$: $x^2=frac{-3pmsqrt{9+16}}{2}=-2,1$. Значит, функция $y=x^4+3x^2-1$ принимает значение 3 при $x^2=-2$ или $x^2=1$. Но так как $x^2$ не может быть отрицательным, то функция $y=x^4+3x^2-1$ не принимает значение 3.
г) Для того, чтобы функция $y=frac{1}{3}x^3+1$ принимала значение, равное -10, необходимо решить уравнение $frac{1}{3}x^3+1=-10$. Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения и получим кубическое уравнение $frac{1}{3}x^3=-11$. Умножим обе части уравнения на 3 и получим $x^3=-33$. Так как $(-3)^3=-27< -33$ и $(-2)^3=-8>-33$, то уравнение $x^3=-33$ имеет решение $x=-3$. Значит, функция $y=frac{1}{3}x^3+1$ принимает значение -10 при $x=-3$.
