Вопрос школьника
Свинцовая пуля массой m1 с начальной температурой Т1, летящая горизонтально после пробивания стены изменила скорость с v1 до v2. Какая масса пули Δm расплавится, если удельная теплоёмкость свинца с, удельная теплота плавления свинца λ, температура плавления свинца Т2?
Ответ от учителя
Для решения задачи воспользуемся законом сохранения энергии. Пуля при пробивании стены получает кинетическую энергию, которая затем расходуется на изменение скорости и нагревание пули. При этом энергия сохраняется, то есть:
$E_{kin} + Q = E_{kin}’+Q’+Q_{Delta m}$,
где $E_{kin}$ — начальная кинетическая энергия пули, $Q$ — начальная тепловая энергия пули, $E_{kin}’$ — конечная кинетическая энергия пули, $Q’$ — конечная тепловая энергия пули, $Q_{Delta m}$ — тепловая энергия, необходимая для плавления массы $Delta m$ свинца.
Начальная кинетическая энергия пули равна:
$E_{kin}=frac{m_1v_1^2}{2}$,
где $m_1$ — масса пули, $v_1$ — начальная скорость пули.
Конечная кинетическая энергия пули равна:
$E_{kin}’=frac{m_1v_2^2}{2}$,
где $v_2$ — конечная скорость пули.
Начальная тепловая энергия пули равна:
$Q=m_1c(T_2-T_1)$,
где $c$ — удельная теплоемкость свинца, $T_1$ — начальная температура пули, $T_2$ — температура плавления свинца.
Конечная тепловая энергия пули равна:
$Q’=m_1c(T_2-T_1′)$,
где $T_1’$ — конечная температура пули.
Тепловая энергия, необходимая для плавления массы $Delta m$ свинца, равна:
$Q_{Delta m}=Delta mlambda$,
где $lambda$ — удельная теплота плавления свинца.
Подставляя все выражения в закон сохранения энергии, получаем:
$frac{m_1v_1^2}{2}+m_1c(T_2-T_1)=frac{m_1v_2^2}{2}+m_1c(T_2-T_1′)+Delta mlambda$
Выражая из этого уравнения $Delta m$, получаем:
$Delta m=frac{m_1v_1^2-m_1v_2^2+2m_1c(T_2-T_1)-2m_1c(T_2-T_1′)}{2lambda}$
Учитывая, что при плавлении массы $Delta m$ свинца тепловая энергия $Q_{Delta m}$ расходуется на плавление массы $Delta m$ свинца и не изменяет температуру пули, то $T_1’=T_2$. Подставляя это в выражение для $Delta m$, получаем:
$Delta m=frac{m_1v_1^2-m_1v_2^2+2m_1c(T_2-T_1)}{2lambda}$
Ответ: масса пули, которая расплавится, равна $Delta m=frac{m_1v_1^2-m_1v_2^2+2m_1c(T_2-T_1)}{2lambda}$.
