Вопрос школьника
Тела, находившиеся в покое, в результате взаимодействия приобрели скорости 3 и 15 м/с. Чему равна масса тела, имеющего большую скорость, если масса другого тела 45 кг?
Ответ от учителя
Для решения этой задачи необходимо использовать закон сохранения импульса. Согласно этому закону, сумма импульсов тел до и после взаимодействия должна оставаться неизменной.
Импульс тела можно вычислить по формуле:
p = m * v
где p — импульс, m — масса тела, v — скорость.
Пусть масса тела с меньшей скоростью равна 45 кг, а скорости тел равны 3 м/с и 15 м/с соответственно. Обозначим массу тела с большей скоростью через m.
Сумма импульсов тел до взаимодействия равна:
p1 = m1 * v1 + m2 * v2
где m1 и v1 — масса и скорость первого тела, m2 и v2 — масса и скорость второго тела.
После взаимодействия тела приобретают новые скорости v1′ и v2′, которые можно вычислить по формулам:
v1′ = (m1 — m) * v1 / (m1 + m) + 2 * m * v2 / (m1 + m)
v2′ = (m2 + m) * v2 / (m1 + m) — 2 * m * v2 / (m1 + m)
Сумма импульсов тел после взаимодействия также должна быть равна p1:
p1 = (m1 — m) * v1′ + (m2 + m) * v2′
Подставляя выражения для v1′ и v2′, получаем:
p1 = (m1 — m) * v1 * (m1 — m) / (m1 + m) + 2 * m * v2 * (m1 — m) / (m1 + m) + (m2 + m) * v2 * (m2 + m) / (m1 + m) — 2 * m * v2 * (m2 + m) / (m1 + m)
Раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые, получаем:
p1 = (m1 * v1 + m2 * v2) — 2 * m * v2 + 2 * m * v2 * m2 / (m1 + m)
Выражая m через известные величины, получаем:
m = (m1 * v1 + m2 * v2 — p1) * (m1 + m2) / (2 * v2 * m2)
Подставляя числовые значения, получаем:
m = (45 * 3 + m2 * 15 — (45 * 3 + m2 * 15)) * (45 + m2) / (2 * 15 * m2) = 45 / 2 = 22.5 кг
Таким образом, масса тела с большей скоростью равна 22.5 кг.
