Вопрос школьника
Тело брошено с поверхности земли под углом a = 60 с начальной скоростью v0 = 20 м/с. Найти вектор перемещения, модуль перемещения, направление модуля перемещения от точки броска до ближайшей точки траектории, в которой нормальное ускорение тела будет равной an = 8 м/с2.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам необходимо разбить движение тела на две составляющие: горизонтальную и вертикальную. Горизонтальная составляющая будет равна постоянной скорости v0*cos(a), а вертикальная составляющая будет подчиняться закону движения свободного падения: y = v0*sin(a)*t — (g*t^2)/2, где y — вертикальное перемещение, t — время движения, g — ускорение свободного падения.
Найдем время t, за которое тело достигнет точки траектории с нормальным ускорением an = 8 м/с^2. Для этого воспользуемся формулой для нормального ускорения: an = v^2/R, где v — скорость тела в точке траектории, R — радиус кривизны траектории. Так как траектория является параболой, то радиус кривизны в любой точке будет равен R = (1 + y’^2)^(3/2)/|y»|, где y’ — производная по времени от вертикального перемещения, y» — производная по времени от ускорения по вертикали. Подставляя значения, получим уравнение: 8 = (v^2*(1 + y’^2)^(3/2))/|y»|. Решая его относительно v, получим v = sqrt(8*|y»|/(1 + y’^2)^(3/2)).
Теперь найдем время t, за которое тело достигнет точки траектории с нормальным ускорением an. Для этого подставим найденное значение скорости v в уравнение для вертикального перемещения и решим его относительно времени t: y = v0*sin(a)*t — (g*t^2)/2 = (8*(t^2))/2. Решая квадратное уравнение, получим два значения времени: t1 = 0 и t2 = 2*v0*sin(a)/g. Очевидно, что первое значение не подходит, так как оно соответствует начальному положению тела. Таким образом, время t = t2 = 2*v0*sin(a)/g = 4 с.
Теперь найдем горизонтальное перемещение за время t: x = v0*cos(a)*t = 20*0.5 = 10 м.
Найдем модуль перемещения от точки броска до ближайшей точки траектории с нормальным ускорением an: S = sqrt(x^2 + y^2) = sqrt(10^2 + (20*sin(60)*4 — (9.81*4^2)/2)^2) = 22.8 м.
Найдем направление модуля перемещения от точки броска до ближайшей точки траектории с нормальным ускорением an. Для этого найдем угол между вектором перемещения и горизонтальной осью: alpha = arctan(y/x) = arctan((20*sin(60)*4 — (9.81*4^2)/2)/10) = 56.3 градусов. Таким образом, направление модуля перемещения составляет 56.3 градусов к горизонтальной оси.
