Вопрос школьника
Тело брошено со скоростью v0=10 м/с под углом α=45° к горизонту. Найти радиус кривизны R траектории тела через время t=1 с после начала движения
Ответ от учителя
Для решения данной задачи необходимо использовать законы движения тела под углом к горизонту.
Первым шагом необходимо разложить начальную скорость тела на горизонтальную и вертикальную составляющие:
v0x = v0 * cos(α) = 10 * cos(45°) ≈ 7.07 м/с
v0y = v0 * sin(α) = 10 * sin(45°) ≈ 7.07 м/с
Затем можно найти время, за которое тело достигнет максимальной высоты:
t_max = v0y / g ≈ 0.72 с,
где g — ускорение свободного падения, принимаемое равным 9.81 м/с².
Далее можно найти максимальную высоту, на которую поднимется тело:
h_max = v0y² / (2 * g) ≈ 3.54 м.
Так как задача требует найти радиус кривизны траектории через время t=1 с, то необходимо найти координаты тела в этот момент времени.
Для этого можно использовать следующие формулы:
x = v0x * t ≈ 7.07 м/с * 1 с ≈ 7.07 м
y = v0y * t — (1/2) * g * t² ≈ 7.07 м/с * 1 с — (1/2) * 9.81 м/с² * (1 с)² ≈ 2.26 м
Теперь можно найти радиус кривизны траектории в этой точке. Для этого необходимо воспользоваться формулой:
R = (1 + y’²)^(3/2) / |y»|,
где y’ и y» — первая и вторая производные функции y(t) по времени соответственно.
Первая производная:
y’ = v0y — g * t ≈ 7.07 м/с — 9.81 м/с² * 1 с ≈ -2.74 м/с
Вторая производная:
y» = -g ≈ -9.81 м/с²
Подставляя значения в формулу для радиуса кривизны, получаем:
R = (1 + (-2.74/7.07)²)^(3/2) / |-9.81| ≈ 2.05 м.
Таким образом, радиус кривизны траектории тела через время t=1 с после начала движения составляет примерно 2.05 метра.
