Вопрос школьника
Тело массой m, брошенное вертикально вниз со скоростью v0, за время падения получило приращение импульса, равное Др. Сколько времени тело находилось в полете, если известна средняя скорость его движения vср? С какой высоты упало тело?
Ответ от учителя
Из закона сохранения импульса следует, что изменение импульса тела равно импульсу, переданному телу в результате взаимодействия с другими телами или средой. В данном случае, тело падает свободно под действием силы тяжести, поэтому изменение импульса равно импульсу, переданному телу силой тяжести.
Для начала найдем импульс, переданный телу за время падения. Импульс равен произведению массы тела на изменение скорости:
Др = m * Δv
Так как тело падает вертикально вниз, то изменение скорости равно разности начальной и конечной скоростей:
Δv = vк — v0
Начальная скорость равна v0, а конечная скорость равна нулю, так как тело достигает максимальной скорости при ударе о землю. Тогда:
Δv = -v0
Импульс, переданный телу, равен:
Др = -m * v0
Теперь можно найти время падения тела. Средняя скорость равна отношению пройденного пути к времени движения:
vср = h / t
где h — высота, с которой упало тело.
Выразим время t:
t = h / vср
Также из уравнения движения можно выразить время падения через начальную скорость, время и ускорение:
h = v0 * t + (g * t^2) / 2
где g — ускорение свободного падения, примерно равное 9,8 м/с^2.
Подставим выражение для времени:
h = v0 * (h / vср) + (g * (h / vср)^2) / 2
Решая это уравнение относительно h, получаем:
h = (v0^2 / (2 * g)) * (1 — sqrt(1 + 2 * g * Др / (m * v0^2)))
Таким образом, время падения тела равно h / vср, а высота, с которой упало тело, равна выражению выше.
