Вопрос школьника
Теннисный мяч падает вертикально с высоты h = 1 м на наклонную доску. Расстояние между точками первого и второго удара равно s = 4 м. Считая взаимодействие мяча и доски протекающим по абсолютно упругой схеме, определить угол наклона доски к горизонту.
Ответ от учителя
Для решения задачи необходимо использовать законы сохранения энергии и импульса.
Первым шагом найдем скорость мяча перед ударом о доску. Для этого воспользуемся законом сохранения энергии:
mgh = (mv^2)/2
где m — масса мяча, g — ускорение свободного падения, h — высота падения, v — скорость мяча перед ударом.
Из этого уравнения можно выразить скорость:
v = sqrt(2gh)
Подставляя численные значения, получаем:
v = sqrt(2 * 9.81 * 1) ≈ 4.43 м/с
Далее, найдем изменение импульса мяча при ударе о доску. Для этого воспользуемся законом сохранения импульса:
mv = mv’ + Mv»
где v — скорость мяча перед ударом, v’ — скорость мяча после удара, M — масса доски, v» — скорость доски после удара.
Так как взаимодействие мяча и доски протекает по абсолютно упругой схеме, то скорости мяча и доски после удара будут равны по модулю, но противоположны по направлению:
v’ = v» = (mv)/(m + M)
Из этого уравнения можно выразить изменение импульса:
Δp = mv — mv’ = mv — (mv)/(m + M) = mv(M/(m + M))
Подставляя численные значения, получаем:
Δp = m * 4.43 * (M/(m + M)) ≈ 0.98 * M м/с
Наконец, найдем угол наклона доски к горизонту. Для этого воспользуемся законом сохранения энергии второго удара:
(Mv»)^2/2 = mgh
где v» — скорость доски после удара.
Из этого уравнения можно выразить скорость доски:
v» = sqrt(2mgh)/M
Подставляя численные значения, получаем:
v» = sqrt(2 * 0.05 * 9.81 * 1)/M ≈ 0.31/M м/с
Так как расстояние между точками первого и второго удара равно 4 м, то время между ударами можно найти как:
t = s/v»
Подставляя численные значения, получаем:
t = 4/(0.31/M) = 12.9M с
Из закона сохранения импульса можно выразить угол наклона доски к горизонту:
tan(α) = Δp/(Mv»t)
Подставляя численные значения, получаем:
tan(α) = 0.98 * M/(M * 0.31/M * 12.9M) ≈ 0.25
Отсюда получаем:
α ≈ 14.04°
Таким образом, угол наклона доски к горизонту составляет примерно 14.04°.
