Вопрос школьника
Точка A основания KM равнобедренного треугольника KLM находится на одинаковых расстояниях от боковых сторон KL и ML. Докажите, что отрезок LA является высотой треугольника
Ответ от учителя
Для доказательства того, что отрезок LA является высотой треугольника KLM, нужно показать, что он перпендикулярен к стороне KL.
Пусть точка O — середина стороны KL, тогда по условию задачи точка A находится на одинаковом расстоянии от сторон KL и ML, а значит, она лежит на перпендикулярной биссектрисе угла KOL, проходящей через точку O.
Так как треугольник KLM равнобедренный, то угол KLM равен углу KML, а значит, биссектриса угла KOL также является биссектрисой угла KLM.
Таким образом, точка A лежит на биссектрисе угла KLM, а значит, она находится на равном расстоянии от сторон KL и LM. Но так как точка O является серединой стороны KL, то отрезок OA является медианой треугольника KLM.
Таким образом, точка A является точкой пересечения медианы и биссектрисы треугольника KLM, а значит, она является точкой пересечения высоты и медианы, что означает, что отрезок LA является высотой треугольника KLM.
