Вопрос школьника
Точка D делит сторону BC треугольника ABC в отношении 1 : 4, считая от точки B, отрезок AD пересекает медиану BM в точке E. Во сколько раз площадь треугольника ABC больше площади треугольника BDE?
Ответ от учителя
Пусть точка D делит сторону BC в отношении 1:4, то есть BD:DC = 1:4. Тогда можно записать, что BD = x, DC = 4x, AB = a, AC = b.
Так как точка E лежит на медиане BM, то BE = EM, а значит, BM = 2BE. Также из теоремы Пифагора для треугольника ABE можно записать, что AE^2 = AB^2 — BE^2 = a^2 — frac{1}{4}BM^2.
Теперь рассмотрим треугольник BDE. Его площадь можно вычислить по формуле S = frac{1}{2}BD cdot DE cdot sin(angle BDE). Найдем значения всех величин:
— BD = x
— DE = AE — AD = AE — (AB + BD) = AE — (a + x)
— sin(angle BDE) = sin(angle ADB) = sin(angle ADC) = frac{AC}{AD} = frac{b}{AE}
Подставляя все значения в формулу для площади, получаем:
S(BDE) = frac{1}{2}x(a + x — AE)frac{b}{AE} = frac{1}{2}x(a + x — sqrt{a^2 — frac{1}{4}BM^2})frac{b}{sqrt{a^2 — frac{1}{4}BM^2}}
Теперь рассмотрим треугольник ABC. Его площадь можно вычислить по формуле S = frac{1}{2}AB cdot AC cdot sin(angle BAC). Найдем значения всех величин:
— AB = a
— AC = b
— sin(angle BAC) = sin(angle ADB) = sin(angle ADC + angle BDE) = sin(angle ADC)cos(angle BDE) + cos(angle ADC)sin(angle BDE) = frac{AC}{AD}cos(angle BDE) + frac{BD}{AD}sin(angle BDE) = frac{b}{AE}frac{BE}{BM} + frac{x}{AE}frac{BM}{BE} = frac{b}{2BE} + frac{x}{BM}
Подставляя все значения в формулу для площади, получаем:
S(ABC) = frac{1}{2}ab(frac{b}{2BE} + frac{x}{BM})
Теперь осталось выразить BE и BM через известные величины. Из теоремы Пифагора для треугольника ABE получаем, что BE^2 = AE^2 — AB^2 = frac{1}{4}BM^2. Отсюда следует, что BE = frac{1}{2}BM.
Подставляя это значение в формулы для площадей, получаем:
S(BDE) = frac{1}{2}x(a + x — sqrt{a^2 — frac{1}{4}BM^2})frac{b}{sqrt{a^2 — frac{1}{4}BM^2}} = frac{1}{2}x(a + x — sqrt{3}BE)frac{b}{sqrt{3}BE}
S(ABC) = frac{1}{2}ab(frac{b}{2BE} + frac{x}{BM}) = frac{1}{2}ab(frac{2b}{3BE})
Теперь можно выразить отношение площадей:
frac{S(ABC)}{S(BDE)} = frac{frac{1}{2}ab(frac{2b}{3BE})}{frac{1}{2}x(a + x — sqrt{3}BE)frac{b}{sqrt{3}BE}} = frac{ab^2}{3x(a + x — sqrt{3}BE)}
Осталось выразить BE через известные величины. Из теоремы Пифагора для треугольника ABE получаем, что AE^2 = AB^2 — BE^2 = a^2 — frac{1}{4}BM^2. Из теоремы Пифагора для треугольника ABC получаем, что BM^2 = frac{2}{9}(2AB^2 + 2AC^2 — BC^2) = frac{2}{9}(2a^2 + 2b^2 — 16x^2). Подставляя эти выражения, получаем:
frac{S(ABC)}{S(BDE)} = frac{ab^2}{3x(a + x — sqrt{3}BE)} = frac{ab^2}{3x(a + x — sqrt{a^2 — frac{1}{4}cdotfrac{2}{9}(2a^2 + 2b^2 — 16x^2)})}
Упрощая выражение, получаем:
frac{S(ABC)}{S(BDE)} = frac{9ab^2}{2(a^2 + b^2 + 5x^2)}
Ответ: площадь треугольника ABC больше площади треугольника BDE в frac{9ab^2}{2(a^2 + b^2 + 5x^2)} раз.
