Вопрос школьника
Точка D расположена на биссектрисе внешнего угла с вершиной A треугольника ABC. Докажите, что периметр треугольника BCD больше периметра треугольника ABC.
Ответ от учителя
Для начала, обозначим точки пересечения биссектрисы угла A с сторонами BC и AB как E и F соответственно. Тогда, по определению биссектрисы, угол BAE равен углу CAE, а угол BAF равен углу CAF. Таким образом, треугольники ABE и ACF подобны.
Из этого следует, что отношение длин сторон AB и AC равно отношению расстояний от точки A до биссектрисы угла A и до стороны BC. То есть, AB/AC = BE/EC.
Аналогично, можно показать, что треугольники BCD и ABC подобны. Из этого следует, что отношение длин сторон BC и AB равно отношению расстояний от точки D до биссектрисы угла A и до стороны AC. То есть, BC/AB = CD/AD.
Теперь можно выразить BE и CD через AB и AC, соответственно: BE = AB * EC / (EC + AC) и CD = BC * AD / (AD + AB).
Подставляя эти выражения в выражение для периметра треугольника BCD, получаем:
BC + CD + BD = BC + BC * AD / (AD + AB) + BD
Аналогично, для периметра треугольника ABC:
AB + BC + AC = AB + AC * BE / (BE + EC) + BC
Теперь нужно показать, что выражение для периметра треугольника BCD больше выражения для периметра треугольника ABC. Для этого можно сравнить их разности:
(BC + BC * AD / (AD + AB) + BD) — (AB + AC * BE / (BE + EC) + BC)
= BC * (AD — BE) / (AD + AB) + BD — AC * BE / (BE + EC)
= BC * (AD — AB * EC / (EC + AC)) / (AD + AB) + BD — AC * AB * EC / (BE + EC) / (EC + AC)
= BC * (AD * AC — AB * EC) / ((AD + AB) * (EC + AC)) + BD — AC * AB * EC / ((BE + EC) * (EC + AC))
Заметим, что AD * AC > AB * EC, так как точка D лежит на биссектрисе внешнего угла, а значит, расстояние от нее до стороны AC больше, чем расстояние от точки A до этой же стороны. Также заметим, что BD > AB и BE > AC, так как точка D лежит внутри треугольника ABC.
Таким образом, выражение для разности периметров положительно, что и означает, что периметр треугольника BCD больше периметра треугольника ABC.
