Вопрос школьника
Точка движется по окружности радиусом R=2 м согласно уравнению * ξ=At³, где A =2 м/с³. В какой момент времени t нормальное ускорение аn точки будет равно тангенциальному а. Определить полное ускорение а в этот момент.
Ответ от учителя
Нормальное ускорение аn точки, движущейся по окружности, определяется как аn = v²/R, где v — скорость точки, R — радиус окружности. Тангенциальное ускорение а определяется как а = d(v)/dt, где d(v) — изменение скорости точки со временем.
Из уравнения движения ξ=At³ можно найти скорость точки: v = d(ξ)/dt = 3At². Подставляя значение скорости в формулу для нормального ускорения, получаем: аn = (3At²)²/R = 9A²t⁴/R.
Теперь найдем момент времени t, когда аn = а. Из условия задачи следует, что аn = а, значит, 9A²t⁴/R = d(v)/dt. Найдем производную скорости: d(v)/dt = 6At. Подставляя это значение в уравнение, получаем: 9A²t⁴/R = 6At. Сокращая на t и перенося все слагаемые в одну часть, получаем квадратное уравнение: 3At³ — 2R = 0.
Решая это уравнение, находим момент времени t: t = (2R/3A)^(1/3). Подставляя значение t в формулу для нормального ускорения, находим его значение: аn = 9A²t⁴/R = 8A²/3R.
Наконец, полное ускорение а в этот момент можно найти по формуле: а² = аn² + а², где а — полное ускорение. Подставляя значения аn и R, находим: а² = (8A²/3R)² + (3At²)² = 64A⁴/9R² + 36A²t⁴ = 64A⁴/9R² + 36A²((2R/3A)^(2/3))⁴. Подставляя значения A и R, находим: а ≈ 10.6 м/с².
