Вопрос школьника
Точка движется по окружности радиусом R=2 см. Зависимость пути от времени дается уравнением s=Ct3, где С=0,1 см/с3. Найти нормальное аn и тангенциальное ат ускорения точки в момент, когда линейная скорость точки v=0,3 м/с.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам необходимо найти ускорение точки в момент, когда ее линейная скорость равна 0,3 м/с. Для этого воспользуемся формулой для линейной скорости точки, движущейся по окружности:
v = Rω,
где v — линейная скорость, R — радиус окружности, ω — угловая скорость.
Из этой формулы можно выразить угловую скорость:
ω = v/R.
Теперь мы можем найти ускорение точки, используя формулу для ускорения вращательного движения:
a = Rα,
где a — ускорение точки, α — угловое ускорение.
Угловое ускорение можно выразить через производную угловой скорости по времени:
α = dω/dt.
Таким образом, ускорение точки можно записать в виде:
a = R(dω/dt).
Для нахождения dω/dt воспользуемся формулой для угловой скорости:
ω = s/Rt,
где s — путь, пройденный точкой за время t.
Тогда:
dω/dt = ds/dtRt — s/Rt2.
Заменяем s на выражение из условия задачи:
s = Ct3,
ds/dt = 3Ct2.
Подставляем в формулу для dω/dt:
dω/dt = 3Ct/R — Ct3/Rt2.
Теперь можем найти ускорение точки:
a = R(dω/dt) = 3Ct2 — Ct4/R.
Нормальное ускорение аn равно проекции ускорения на радиус окружности:
an = a cos(90°) = -a.
Тангенциальное ускорение ат равно проекции ускорения на касательную к окружности:
at = a sin(90°) = a.
Таким образом, нормальное ускорение равно -3Ct2 + Ct4/R, а тангенциальное ускорение равно 3Ct2 — Ct4/R.
