Вопрос школьника
Точка Е лежит на стороне ВС треугольника ABC так, что АЕ = ЕС, а точка D — на луче, противоположном лучу ЕА, так, что BE = ED. Докажите, что угол ACD = углу CAB.
Ответ от учителя
Рассмотрим треугольник ABE. Из условия задачи следует, что угол AEB = углу ABE, так как AE = EC и BE = ED. Значит, треугольник ABE равнобедренный, и угол BAE = углу BEA.
Также из условия задачи следует, что угол AED = углу ABE + углу BEA = 2 угла BAE.
Рассмотрим теперь треугольник ACD. Из условия задачи следует, что угол ACD = углу AED + углу DEA. Заменим углы AED и DEA на их значения, полученные выше:
угол ACD = 2 угла BAE + угол CAB.
Но мы знаем, что угол BAE = углу CAB (из равнобедренности треугольника ABE). Подставим это значение в предыдущее уравнение:
угол ACD = 2 угла CAB + угол CAB = 3 угла CAB.
Значит, угол ACD равен трети угла CAB. Но мы также знаем, что сумма углов треугольника равна 180 градусам. Значит, угол ACD + угол CAB + угол BAC = 180 градусов. Подставим значение угла BAC = угла CAB (из равнобедренности треугольника ABE):
угол ACD + 2 угла CAB = 180 градусов.
Отсюда следует, что угол ACD = углу CAB, так как они равны между собой.
