Вопрос школьника
Точка E — середина ребра A1B1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1. Постройте сечение этого параллелепипеда плоскостью ACE и найдите периметр сечения, если AB = BC = 8 см и AA1 = 3 см.
Ответ от учителя
Для начала построим сечение параллелепипеда плоскостью ACE. Для этого нам нужно найти точки пересечения плоскости ACE с ребрами параллелепипеда.
Так как точка E является серединой ребра A1B1, то мы можем найти координаты этой точки, используя координаты точек A1 и B1. Пусть координаты точки A1 равны (0,0,0), а координаты точки B1 равны (8,0,0). Тогда координаты точки E будут равны ((0+8)/2, 0, 0), то есть (4,0,0).
Теперь мы можем найти точки пересечения плоскости ACE с ребрами AB, AC и AE. Для этого нам нужно найти уравнения прямых, проходящих через эти ребра и точку E.
Прямая, проходящая через точки A и E, имеет направляющий вектор (4,0,0), так как точка E находится на середине ребра AB. Уравнение этой прямой можно записать в параметрической форме:
x = 4t
y = 0
z = 0
Прямая, проходящая через точки A и C, имеет направляющий вектор (4,4,0), так как ребро AC имеет длину 8 и проходит по диагонали грани ABC. Уравнение этой прямой можно записать в параметрической форме:
x = 4t
y = 4t
z = 0
Прямая, проходящая через точки A и E, имеет направляющий вектор (0,0,3), так как точка E находится на середине ребра AA1 и расстояние между точками A и A1 равно 3. Уравнение этой прямой можно записать в параметрической форме:
x = 0
y = 0
z = 3t
Теперь мы можем найти точки пересечения этих прямых с плоскостью ACE. Для этого мы подставим уравнения прямых в уравнение плоскости ACE и решим полученную систему уравнений.
Уравнение плоскости ACE можно записать в общем виде:
x + y + z = k
Так как точка E лежит на плоскости ACE, то мы можем найти значение k, подставив координаты точки E в это уравнение:
4 + 0 + 0 = k
k = 4
Теперь мы можем записать уравнения трех прямых в общем виде:
x = 4t
y = 0
z = 0
x = 4t
y = 4t
z = 0
x = 0
y = 0
z = 3t
И подставить их в уравнение плоскости ACE:
4t + 0 + 0 = 4
4t = 4
t = 1
Точка пересечения прямой AE с плоскостью ACE имеет координаты (4,0,0).
4t + 4t + 0 = 4
8t = 4
t = 0.5
Точка пересечения прямой AC с плоскостью ACE имеет координаты (2,2,0).
0 + 0 + 3t = 4
t = 4/3
Точка пересечения прямой AA1 с плоскостью ACE имеет координаты (0,0,4/3).
Теперь мы можем построить сечение параллелепипеда плоскостью ACE, соединив найденные точки пересечения. Полученная фигура является трапецией.
Чтобы найти периметр этой трапеции, нам нужно найти длины ее сторон. Для этого мы можем использовать теорему Пифагора.
Сторона AB трапеции равна расстоянию между точками A и E, которое можно найти по формуле:
AB = √((4-0)^2 + (0-0)^2 + (0-0)^2) = √16 = 4
Сторона BC трапеции равна расстоянию между точками B и C, которое равно 8.
Сторона CD трапеции равна расстоянию между точками C и точкой пересечения прямой AA1 с плоскостью ACE, которое можно найти по формуле:
CD = √((2-0)^2 + (2-0)^2 + (0-4/3)^2) = √(4 + 4 + 16/9) = √(52/9)
Сторона DA трапеции равна расстоянию между точками A и точкой пересечения прямой AA1 с плоскостью ACE, которое можно найти по формуле:
DA = √((0-0)^2 + (0-0)^2 + (4/3-0)^2) = √(16/9) = 4/3
Теперь мы можем найти периметр трапеции, сложив длины ее сторон:
P = AB + BC + CD + DA = 4 + 8 + √(52/9) + 4/3 ≈ 17.77 см
Ответ: периметр сечения параллелепипеда плоскостью ACE равен примерно 17.77 см.
