Вопрос школьника
Точка F лежит на стороне АВ прямоугольного треугольника ABC (угол ВАС = 90°) так, что угол AFC = β и угол FCB = α. Найдите длину отрезка FB, если АС = а.
Ответ от учителя
Рассмотрим треугольник AFC. Из него можно выразить длину отрезка FC через угол β и длину стороны AC:
FC = AC * sin(β)
Также заметим, что треугольник FCB подобен треугольнику ABC, так как у них соответственные углы равны. Тогда можно записать:
FB/AB = BC/AC
FB = AB * BC/AC
AB = AC + CB = а + FB
Заменим AB в формуле выше и получим:
FB = (а + FB) * BC/AC
FB * AC = а * BC + FB * BC
FB * (AC — BC) = а * BC
FB = а * BC / (AC — BC)
Теперь осталось выразить длину стороны BC через углы α и β. Рассмотрим треугольник ABC. Из него можно выразить длину стороны BC через угол α и длину стороны AC:
BC = AC * tan(α)
Заменим BC в формуле для FB и получим:
FB = а * AC * tan(α) / (AC — AC * tan(α))
FB = а * tan(α) / (1 — tan(α))
Таким образом, мы получили формулу для длины отрезка FB через длину стороны AC и углы α и β:
FB = а * tan(α) / (1 — tan(α))
