Вопрос школьника
Точка F окружности удалена от концов ее диаметра АВ на расстояния 9 см и 12 см. Вычислите радиус данной окружности.
Ответ от учителя
Пусть радиус данной окружности равен r. Тогда, по определению, диаметр равен 2r.
Пусть точки, соответствующие концам диаметра, называются A и B, а точка, удаленная от них на расстояние 9 см, называется C, а точка, удаленная на 12 см, называется D.
Таким образом, мы имеем следующую ситуацию:
AC = 9 см
BD = 12 см
AB = 2r
Мы можем использовать теорему Пифагора для треугольников ABC и ABD:
AC² + BC² = AB²
BD² + AD² = AB²
Подставляя значения AC, BC, BD и AD, получаем:
9² + BC² = (2r)²
12² + AD² = (2r)²
Решая эти уравнения относительно r, получаем:
BC² = 4r² — 81
AD² = 4r² — 144
Сложим эти уравнения:
BC² + AD² = 8r² — 225
Заметим, что BC + AD = AB = 2r. Тогда:
BC² + AD² = (BC + AD)² — 2BC·AD = (2r)² — 2BC·AD
Подставляем значения BC² + AD² и получаем:
(2r)² — 2BC·AD = 8r² — 225
Решаем это уравнение относительно r:
4r² — 2BC·AD = 225
4r² — 2·9·12 = 225
4r² — 216 = 225
4r² = 441
r² = 110.25
r = 10.5
Таким образом, радиус данной окружности равен 10.5 см.
