Вопрос школьника
Точка F — середина стороны АС прямоугольного треугольника АВС, отрезок FO — перпендикуляр, проведенный к гипотенузе АВ, АС = 4 см (рис. 107, б). Вычислите площадь треугольника АВС, если площадь круга, ограниченного окружностью, описанной около четырехугольника CFOB, равна 13 π см2.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам понадобится использовать теорему Пифагора для прямоугольного треугольника АВС:
AB² + BC² = AC²
Также нам понадобится знание о том, что в прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, является средним гармоническим между отрезками гипотенузы, на которые она делит ее.
Для начала найдем длину гипотенузы АВ:
AB² = AC² — BC²
AB² = 4² — 3²
AB² = 7
AB = √7
Теперь найдем длину отрезка FO. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника AFO:
AF² + FO² = AO²
AF = AC/2 = 4/2 = 2
AO = AB/2 + BO = (√7)/2 + BO
Так как треугольник CFO прямоугольный, то BO = FO. Тогда:
AF² + FO² = (AB/2 + FO)²
4 + FO² = (√7/2 + FO)²
4 + FO² = 7/4 + √7/2 FO + FO²
√7/2 FO = 7/4 — 4
FO = (7/4 — 4) / (√7/2)
FO = -1/2
Отрицательный результат говорит о том, что точка О находится на продолжении отрезка AB за точку B. Так как мы ищем площадь круга, ограниченного окружностью, описанной около четырехугольника CFOB, то нам нужно найти длину диаметра этой окружности. Для этого найдем длину отрезка OB:
OB = AB + AO
OB = √7/2 + (√7)/2
OB = √7
Тогда диаметр окружности равен 2OB = 2√7, а ее площадь равна:
S = πr² = π(√7)² = 7π
Таким образом, площадь треугольника АВС равна:
S(АВС) = (AB*BC)/2 = (√7*3)/2 = (3/2)√7
Ответ: S(АВС) = (3/2)√7.
