Вопрос школьника
Точка H – ортоцентр треугольника ABC. Докажите, что радиус окружности, описанной около треугольника ABH, равен радиусу окружности, описанной около треугольника ABC.
Ответ от учителя
Ортоцентр треугольника — это точка пересечения высот треугольника, которые проведены из вершин к противоположным сторонам.
Рассмотрим треугольник ABH. Окружность, описанная около этого треугольника, проходит через вершины A, B и H. Пусть ее радиус равен R1.
Также рассмотрим треугольник ABC. Окружность, описанная около этого треугольника, проходит через вершины A, B и C. Пусть ее радиус равен R2.
Для доказательства того, что R1 = R2, нам нужно показать, что ABH и ABC имеют одинаковые углы.
Рассмотрим угол BAC треугольника ABC. Он равен сумме углов ABH и CBH (так как угол ABH + угол CBH = 90 градусов, а угол BAC = 180 — угол ABH — угол CBH).
Таким образом, угол BAC треугольника ABC равен сумме углов ABH и CBH.
Теперь рассмотрим угол ABC треугольника ABC. Он равен сумме углов ABH и ACH (так как угол ABH + угол ACH = 90 градусов, а угол ABC = 180 — угол ABH — угол ACH).
Таким образом, угол ABC треугольника ABC равен сумме углов ABH и ACH.
Из этих двух равенств следует, что углы ABH, CBH и ACH равны углам треугольника ABC.
Таким образом, треугольники ABH и ABC имеют одинаковые углы, что означает, что их описанные окружности имеют одинаковый радиус.
Следовательно, R1 = R2, что и требовалось доказать.
