Вопрос школьника
Точка K делит сторону AC треугольника ABC в отношении т : п. Докажите, что для любой точки L на прямой ВК площади треугольников ALK и CLK относятся как т:п.
Ответ от учителя
Пусть точка K делит сторону AC в отношении т : п, то есть AK = t/ (t + p) * AC и KC = p/ (t + p) * AC.
Рассмотрим треугольник ALK. Его площадь можно выразить как половину произведения длины стороны AK на высоту, опущенную на эту сторону. Высота ALK, опущенная на сторону AK, равна h1 = BL * sin(∠KBL), где BL = AC — AK = p/ (t + p) * AC и ∠KBL = ∠ABC (по свойству параллельных прямых). Таким образом, h1 = p/ (t + p) * AC * sin(∠ABC).
Таким же образом, для треугольника CLK высота, опущенная на сторону KC, равна h2 = p/ (t + p) * AC * sin(∠ACB).
Тогда площади треугольников ALK и CLK можно выразить как:
S1 = 1/2 * AK * h1 = 1/2 * t/ (t + p) * AC * p/ (t + p) * AC * sin(∠ABC) = tp/ (t + p)^2 * SABC
S2 = 1/2 * KC * h2 = 1/2 * p/ (t + p) * AC * p/ (t + p) * AC * sin(∠ACB) = p^2/ (t + p)^2 * SABC
где SABC — площадь треугольника ABC.
Таким образом, отношение площадей треугольников ALK и CLK равно:
S1/S2 = (tp/ (t + p)^2 * SABC) / (p^2/ (t + p)^2 * SABC) = t/ p
что и требовалось доказать.
