Вопрос школьника
Точка К — середина медианы BF треугольника ABC.
Прямая АК пересекает сторону ВС в точке D. Докажите, что BD = 1/3 ВС.
Ответ от учителя
Для доказательства этого утверждения воспользуемся свойствами медиан треугольника.
Медиана BF делит сторону AC пополам, то есть AB = BC. Также, по свойству медианы, точка К делит сторону BF в отношении 2:1, то есть BK = 2KF.
Рассмотрим теперь треугольник ABD. По условию, точка D лежит на стороне ВС, то есть AD + DB = AB + BC. Заменим AB на BC, используя равенство AB = BC, получим AD + DB = 2BC.
Также, по теореме о параллельных прямых, угол BKF равен углу BAC, так как прямые BF и AC параллельны. А значит, угол ABK равен углу CBK, так как треугольник ABK равнобедренный. Таким образом, треугольники ABK и CBK подобны, и мы можем записать соотношение:
AB/BK = BC/KF
Заменим AB на BC, используя равенство AB = BC, и BK на 2KF, получим:
BC/2KF = BC/KF
Отсюда следует, что KF = 2/3 BC.
Теперь мы можем выразить DB через BC и AD:
DB = 2BC — AD
Заменим AD на AC — CD, получим:
DB = 2BC — (AC — CD)
Заменим AC на AB + BC, получим:
DB = 2BC — (AB + BC — CD)
Заменим AB на BC, получим:
DB = BC — CD/2
Но точка К — середина медианы BF, поэтому BK = 2KF = 4/3 BC. А значит, CD = BC — BD = BC — 1/3 BK = BC — 4/9 BC = 5/9 BC.
Подставим это выражение для CD в формулу для DB:
DB = BC — CD/2 = BC — 5/18 BC = 13/18 BC
Таким образом, мы доказали, что BD = 1/3 BC.
