Вопрос школьника
Точка касания окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, делит её меньшее основание на отрезки длиной б см и 3 см, считая от вершины прямого угла. Вычислите периметр трапеции.
Ответ от учителя
Пусть радиус вписанной окружности равен r, а высота трапеции равна h. Так как точка касания окружности делит меньшее основание на отрезки длиной б см и 3 см, то можно записать следующее уравнение:
б + 3 = 2r
Также из геометрических соображений можно получить следующее уравнение:
h = 2r
Теперь можно выразить радиус вписанной окружности через высоту трапеции:
r = h/2
И подставить это выражение в первое уравнение:
б + 3 = 2(h/2)
б + 3 = h
Таким образом, мы получили два уравнения:
б + 3 = 2r
б + 3 = h
Из них можно выразить б и h через r:
б = 2r — 3
h = 2r
Теперь можно вычислить периметр трапеции. Периметр трапеции равен сумме длин всех её сторон:
P = a + b + c + d
Где a и c — основания трапеции, b и d — боковые стороны. Так как трапеция прямоугольная, то её основания a и c равны. Пусть длина меньшего основания равна b, тогда длина большего основания равна b + 3. Таким образом, можно записать:
a = b + 3
c = b + 3
Также из геометрических соображений можно получить:
b + d = 2r
Теперь можно выразить b и d через r:
b = 2r — d
d = 2r — b
Подставляя все выражения в формулу для периметра, получаем:
P = (b + 3) + (b + 3) + (2r — b) + (2r — (2r — d))
P = 2b + 4r
P = 2(2r — 3) + 4r
P = 8r — 6
Таким образом, периметр трапеции равен 8r — 6. Осталось только выразить r через б:
б + 3 = 2r
r = (б + 3)/2
Подставляя это выражение в формулу для периметра, получаем:
P = 8((б + 3)/2) — 6
P = 4б + 12 — 6
P = 4б + 6
Ответ: периметр трапеции равен 4б + 6.
