Вопрос школьника
Точка касания окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, делит его гипотенузу на отрезки длиной 8 см и 12 см. Найдите площадь треугольника.
Ответ от учителя
Пусть точка касания окружности с гипотенузой треугольника делит ее на отрезки длиной 8 см и 12 см, а радиус вписанной окружности равен r.
Так как точка касания является точкой пересечения биссектрис углов, то она делит гипотенузу на отрезки, пропорциональные катетам треугольника. То есть:
$frac{AB}{BC} = frac{8}{12} = frac{2}{3}$
Значит, $AB = frac{2}{5}c$ и $BC = frac{3}{5}c$, где c — длина гипотенузы.
Также из свойств вписанной окружности известно, что расстояние от точки касания до каждого из вершин треугольника равно радиусу вписанной окружности. То есть:
$AD = AE = r$
$BD = BF = r$
$CE = CF = r$
Теперь можно выразить длину гипотенузы через радиус вписанной окружности и подставить найденные значения в формулу площади прямоугольного треугольника:
$c = AB + BC = frac{2}{5}c + frac{3}{5}c = c$
$2r + 2r + c = c$
$r = frac{c}{4}$
$S = frac{1}{2}AB cdot BC = frac{1}{2} cdot frac{2}{5}c cdot frac{3}{5}c = frac{6}{50}c^2 = frac{3}{25}c^2$
Теперь осталось только подставить найденное значение радиуса в формулу площади:
$S = frac{3}{25}c^2 = frac{3}{25} cdot (frac{c}{4})^2 = frac{3}{25} cdot (frac{c^2}{16}) = frac{3}{400}c^2$
Ответ: площадь треугольника равна $frac{3}{400}$ квадрата длины гипотенузы.
