Вопрос школьника
Точка касания окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, делит один из его катетов на отрезки 2 см и 6 см. Найдите стороны треугольника.
Ответ от учителя
Пусть треугольник ABC прямоугольный, причем AC является гипотенузой, а BC и AB — катетами. Пусть точка касания вписанной окружности с треугольником находится на катете AB и делит его на отрезки AD = 2 см и DB = 6 см.
Так как окружность вписана в треугольник, то ее центр O лежит на пересечении биссектрис углов треугольника. Пусть точка касания окружности с катетом AB равноудалена от точек A и B и находится на расстоянии r от сторон треугольника. Тогда AO = BO = r.
Так как AD = 2 см и DB = 6 см, то AB = AD + DB = 8 см. Пусть x = AC, y = BC. Тогда по теореме Пифагора для треугольника ABC имеем:
x^2 + y^2 = AC^2
y^2 + (x-8)^2 = BC^2
Также из подобия треугольников AOD и ABC следует, что:
r/x = y/(x-8)
Из этого уравнения можно выразить y через x и подставить в первые два уравнения:
y = r(x-8)/x
x^2 + r^2(x-8)^2/x^2 = AC^2
r^2(x-8)^2/x^2 + (x-8)^2 = BC^2
Таким образом, у нас есть система из трех уравнений с тремя неизвестными x, y и r. Но мы можем избавиться от r, воспользовавшись теоремой о радикальной оси. Эта теорема утверждает, что точка касания окружности с треугольником, точка пересечения биссектрис углов треугольника и точка пересечения медиан треугольника лежат на одной прямой, называемой радикальной осью.
Таким образом, мы можем найти радиус r, затем выразить y через x и подставить в первые два уравнения, чтобы получить систему из двух уравнений с двумя неизвестными x и r. Решив эту систему, мы найдем стороны треугольника.
Для нахождения радиуса r воспользуемся теоремой Пифагора для треугольника AOD:
r^2 + 2^2 = (x/2)^2
r^2 + 6^2 = (x/2)^2
Вычтем первое уравнение из второго:
36 — 4 = (x/2)^2 — (x/2)^2/4
32 = 3(x/2)^2/4
x^2 = 128/3
Теперь можем найти r:
r^2 + 2^2 = (x/2)^2
r^2 + 6^2 = (x/2)^2
Подставим найденное значение x:
r^2 + 2^2 = 128/12
r^2 + 6^2 = 128/12
Решив эту систему, получим:
r = 2*sqrt(2)
x = 8/sqrt(3)
y = 8*sqrt(3)/3
Таким образом, стороны треугольника равны:
AB = 8 см
AC = 8/sqrt(3) см
BC = 8*sqrt(3)/3 см
