Вопрос школьника
Точка касания окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, делит одну из боковых сторон на отрезки длиной 3 см и 4 см, считая от основания. Найдите периметр треугольника.
Ответ от учителя
Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с боковыми сторонами $AB$ и $AC$, вписанной в него окружностью с центром $O$ и точкой касания с боковой стороной $AC$ в точке $D$. Пусть также $AD=x$, $DC=y$, $AB=AC=z$.
Так как точка $D$ является точкой касания вписанной окружности, то $OD$ является высотой треугольника $ABC$ и проходит через точку пересечения биссектрис $AO$ и $CO$. Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, то $AO=CO$, а значит $OD$ является медианой и делит сторону $BC$ пополам. Таким образом, $BD=DC=y$.
Так как точка $D$ делит сторону $AC$ на отрезки длиной 3 см и 4 см, то $AD=x=3$ см и $DC=y=4$ см.
Теперь можно найти длину стороны $AB$:
$$AB=AC=z=AD+DC=3+4=7text{ см}$$
Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, то $AB=AC=7$ см.
Теперь можно найти периметр треугольника $ABC$:
$$P=AB+AC+BC=7+7+2BD=14+2y$$
Осталось найти длину отрезка $BD$. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника $BOD$:
$$BD^2=BO^2-OD^2$$
Так как $BO$ является радиусом вписанной окружности, а $OD$ является радиусом вписанной окружности, опущенной на сторону $AC$, то $BO=OD=r$, где $r$ — радиус вписанной окружности. Таким образом,
$$BD^2=r^2-r^2=0$$
Отсюда следует, что $BD=0$, а значит $P=14+2y=14+2cdot 4=22$ см.
Итак, периметр треугольника $ABC$ равен 22 см.
