Вопрос школьника
Точка касания вписанного круга делит гипотенузу прямоугольного треугольника на отрезки, длины которых равны 4 см и 6 см. Вычислите площадь круга, вписанного в этот треугольник.
Ответ от учителя
Пусть точка касания вписанного круга с гипотенузой треугольника делит ее на отрезки длины 4 см и 6 см, а радиус вписанного круга равен r.
Так как точка касания лежит на биссектрисе угла при вершине прямоугольного треугольника, то она делит гипотенузу на отрезки, длины которых пропорциональны катетам треугольника. Значит, отношение длины меньшего отрезка к длине большего отрезка равно отношению длины соответствующего катета к длине гипотенузы:
4/6 = a/c,
где a и c – длины катетов, а 4 и 6 – длины отрезков гипотенузы.
Отсюда находим длины катетов:
a = 4c/6 = 2c/3,
c = 6.
Так как радиус вписанного круга является высотой, опущенной на гипотенузу, то площадь треугольника можно выразить двумя способами:
S = (a*c)/2 = (2c/3 * 6)/2 = 2c^2/3,
S = (c*r)/2.
Отсюда находим радиус вписанного круга:
r = (2S)/c = (2 * 2c^2/3)/6 = 2c/3 = 4.
Таким образом, радиус вписанного круга равен 4 см.
Площадь круга можно вычислить по формуле:
S = πr^2 = π * 4^2 = 16π.
Ответ: площадь круга, вписанного в данный треугольник, равна 16π квадратных сантиметров.
