Вопрос школьника
Точка лежит на окружности, описанной около четырехугольника ABCD. Докажите, что произведение расстояний от этой точки до прямых AB и CD равно произведению расстояний от нее до прямых BC и AD.
Ответ от учителя
Пусть точка лежит на окружности, описанной около четырехугольника ABCD. Обозначим эту точку как P.
Так как точка P лежит на окружности, то ее расстояние до любой из вершин четырехугольника равно радиусу окружности. Обозначим радиус окружности как R.
Рассмотрим произведение расстояний от точки P до прямых AB и CD. Обозначим эти расстояния как h1 и h2 соответственно. Тогда:
h1 * h2 = (PA * PB) * (PC * PD)
Здесь PA, PB, PC и PD — расстояния от точки P до вершин A, B, C и D соответственно.
Аналогично, рассмотрим произведение расстояний от точки P до прямых BC и AD. Обозначим эти расстояния как h3 и h4 соответственно. Тогда:
h3 * h4 = (PB * PC) * (PA * PD)
Заметим, что выражения в скобках в правых частях обоих уравнений равны R^2, так как точка P лежит на окружности с радиусом R. Поэтому:
h1 * h2 = R^2 * R^2 / (PA * PB * PC * PD)
h3 * h4 = R^2 * R^2 / (PA * PB * PC * PD)
Таким образом, мы получили, что h1 * h2 = h3 * h4, что и требовалось доказать.
