Вопрос школьника
Точка M лежит на окружности, описанной около треугольника ABC, точка H — ортоцентр этого треугольника, точка M1 симметрична точке M относительно прямой BC. Докажите, что: а) MN1 = AH; б) AN || HM1.
Ответ от учителя
а) Рассмотрим треугольник ABC и его ортоцентр H. Известно, что точка M лежит на описанной окружности треугольника ABC, то есть AM ⊥ BC. Также известно, что точка M1 симметрична точке M относительно прямой BC, то есть BM = CM1 и AM = AM1. Рассмотрим треугольник AMH. Так как AM ⊥ BC, то угол AMH является прямым. Также угол AHB также является прямым, так как H — ортоцентр треугольника ABC. Значит, треугольник AMH подобен треугольнику AHB по двум углам. Следовательно, AM/AB = AH/AC. Аналогично, рассмотрим треугольник AM1H. Так как AM1 ⊥ BC, то угол AM1H является прямым. Также угол AHB также является прямым. Значит, треугольник AM1H подобен треугольнику AHB по двум углам. Следовательно, AM1/AB = AH/AC. Так как BM = CM1 и AM = AM1, то треугольники ABM и ACM1 равнобедренные. Значит, AM/AB = BM/AB и AM1/AC = CM1/AC. Следовательно, BM/AB = AH/AC и CM1/AC = AH/AC. Значит, BM + CM1 = AB + AC = BC. Таким образом, треугольник BM1C является равнобедренным, и точка N1, которая является серединой стороны BC, также является высотой треугольника AM1H. Значит, MN1 = AH.
б) Рассмотрим треугольник AMH. Так как AM ⊥ BC, то угол AMH является прямым. Также угол AHB также является прямым, так как H — ортоцентр треугольника ABC. Значит, треугольник AMH подобен треугольнику AHB по двум углам. Следовательно, AM/AB = AH/AC. Аналогично, рассмотрим треугольник HM1C. Так как HM1 ⊥ BC, то угол HM1C является прямым. Также угол HCB также является прямым, так как H — ортоцентр треугольника ABC. Значит, треугольник HM1C подобен треугольнику HCB по двум углам. Следовательно, HM1/BC = HC/AB. Так как BM = CM1 и AM = AM1, то треугольники ABM и ACM1 равнобедренные. Значит, AM/AB = BM/AB и AM1/AC = CM1/AC. Следовательно, BM/AB = AH/AC и CM1/AC = AH/AC. Значит, BM + CM1 = AB + AC = BC. Таким образом, треугольник BM1C является равнобедренным, и точка N1, которая является серединой стороны BC, также является высотой треугольника AM1H. Значит, угол ANH равен углу HM1C, так как они оба являются прямыми. Следовательно, AN || HM1.
