Вопрос школьника
Точка M лежит вне окружности с центром в точке O. Точка K принадлежит окружности. Докажите, что если ∠KMO + ∠MOK = 90°, то прямая MK — касательная к окружности
Ответ от учителя
Для доказательства этого утверждения воспользуемся свойством касательной к окружности: она перпендикулярна радиусу, проведенному в точке касания.
Пусть точка M лежит вне окружности с центром в точке O, а точка K принадлежит окружности. Проведем радиус OM и соединим точки K и O отрезком KO.
Так как точка M лежит вне окружности, то угол KOM является острым. По условию задачи, сумма углов KMO и MOK равна 90°. Значит, угол KMO также является острым.
Таким образом, углы KOM и KMO являются острыми, а значит, треугольник KOM является остроугольным. В остроугольном треугольнике катет противолежащий острому углу всегда меньше гипотенузы. Значит, отрезок MK меньше отрезка KO.
Так как точка K лежит на окружности с центром в точке O, то отрезок KO является радиусом окружности. Значит, отрезок MK меньше радиуса окружности и не может пересекать ее.
Таким образом, отрезок MK касается окружности в точке K, что и требовалось доказать.
