Вопрос школьника
Точка М принадлежит прямому углу АВС (рис. 208). Точки Мх и М2 — образы точки М при симметрии относительно прямых ВА и ВС соответственно. Докажите, что точки Мх, В, М2 лежат на одной прямой
Ответ от учителя
Для доказательства того, что точки Мх, В и М2 лежат на одной прямой, нужно показать, что они коллинеарны, то есть лежат на одной прямой.
Рассмотрим треугольник ВММ2. Так как точка М симметрична относительно прямой ВА, то угол ВММх равен углу ВММ2 (они являются симметричными относительно прямой ВА). Также угол ВММх равен углу ВМ2М (они являются вертикальными углами). Значит, угол ВММ2 равен углу ВМ2М.
Таким образом, у треугольника ВММ2 два угла равны, а значит, он подобен треугольнику ВММх. Значит, отрезок МхВ/ВМ2 является медианой треугольника ВММх, а также медианой треугольника ВММ2. Так как медианы пересекаются в точке, делящей их в отношении 2:1 относительно вершины, то точки Мх, В и М2 лежат на одной прямой.
Таким образом, мы доказали, что точки Мх, В и М2 лежат на одной прямой.
