Вопрос школьника
Точка M – середина основания BC равнобедренного треугольника ABC. На сторонах AB и AC отмечены точки D и E так, что ∠BDM = ∠CME. Докажите, что ∆BDM ~ ∆MDE.
Ответ от учителя
Для доказательства подобия треугольников ∆BDM и ∆MDE необходимо показать, что они имеют два угла, равные между собой, и соответствующие стороны пропорциональны.
1. Углы ∠BDM и ∠CME равны между собой, так как они являются вертикальными углами, образованными пересечением прямых BM и CM.
2. Так как точка M является серединой основания BC, то BM = MC.
3. Рассмотрим отрезки BD и CE. Так как треугольник ABC равнобедренный, то AB = AC, а значит, BD = CE.
4. Также заметим, что углы ∠BDM и ∠MDE являются прилежащими к основанию BD и DE соответственно, а значит, они равны между собой.
Итак, мы доказали, что у треугольников ∆BDM и ∆MDE два угла равны между собой, а также стороны BD и DE пропорциональны (так как BD = CE). Следовательно, по признаку подобия треугольников, ∆BDM ~ ∆MDE.
