Вопрос школьника
Точка О — центр окружности, описанной около равностороннего треугольника ABC, отрезок BF — диаметр окружности, Т = BF ∩ АС (рис. 51, а). а) Докажите, что ОТ = TF. б) Верно ли, что угол AOT = 60°? в) Вычислите высоту треугольника, если радиус описанной окружности равен 6 см.
Ответ от учителя
а) Рассмотрим треугольник BTF. Он является прямоугольным, так как BF — диаметр окружности, а значит, угол BTF прямой. Также, так как треугольник ABC равносторонний, то угол BAC равен 60 градусам, а значит, угол BOC также равен 60 градусам. Так как точка О является центром описанной окружности, то угол BOC равен углу BAC в два раза, то есть 120 градусам. Тогда угол BTF равен 60 градусам. Так как треугольник BTF прямоугольный и угол BTF равен 60 градусам, то угол BFT также равен 60 градусам. Таким образом, треугольник BFT является равносторонним, а значит, OT = TF.
б) Рассмотрим треугольник AOT. Так как точка О является центром описанной окружности, то угол AOC равен 2 углам ABC, то есть 120 градусам. Также, так как OT = TF, то треугольник OTF является равнобедренным, а значит, угол OTF равен углу OFT. Так как BF — диаметр окружности, то угол OFT прямой. Тогда угол AOT равен сумме углов AOC, COF и FOT, то есть 120 + 90 + 30 = 240 градусам. Таким образом, угол AOT не равен 60 градусам.
в) Радиус описанной окружности равен 6 см, а значит, длина стороны треугольника ABC равна 2 * 6 * sin(60) = 6 * √3 см. Так как треугольник ABC равносторонний, то высота, проведенная к стороне AB, является медианой и биссектрисой, а значит, делит сторону AB на две равные части. Тогда высота равна половине стороны AB, то есть 3 * √3 см.
