Вопрос школьника
Точка О — центр симметрии прямоугольника ABCD (рис. 11.15). Прямые МР и KN перпендикулярны сторонам прямоугольника; KN= 6 см; МР = 4 см. Найдите периметр прямоугольника: a) ABCD; б) КВМО; в) AKND.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам понадобится использовать свойства симметрии и перпендикулярности.
а) Чтобы найти периметр прямоугольника ABCD, нам нужно знать длины его сторон. Так как точка О является центром симметрии, то стороны AB и CD равны, а стороны BC и AD также равны. Обозначим длину стороны AB (и CD) через х, а длину стороны BC (и AD) через у. Тогда мы можем записать систему уравнений:
2х + 2у = периметр прямоугольника ABCD
х = у
Решая эту систему, мы получаем:
х = у = (периметр прямоугольника ABCD) / 4
Таким образом, периметр прямоугольника ABCD равен:
периметр прямоугольника ABCD = 2х + 2у = 4х = 4у = 4(KN + МР) = 4(6 + 4) = 40 см
б) Чтобы найти периметр прямоугольника КВМО, нам нужно знать длины его сторон. Так как точка О является центром симметрии, то стороны КВ и МО равны. Обозначим длину стороны КВ (и МО) через а, а длину стороны ВМ (и ОК) через b. Тогда мы можем записать систему уравнений:
2а + 2b = периметр прямоугольника КВМО
а = МР + ОК = 4 + х
b = KN
Здесь мы использовали тот факт, что сторона КВ (и МО) равна сумме сторон ВМ (и ОК) и МР (и KN).
Решая эту систему, мы получаем:
а = 4 + х
b = 6
периметр прямоугольника КВМО = 2а + 2b = 2(4 + х) + 2·6 = 2х + 16
Заметим, что мы уже знаем значение 2х (оно равно длине стороны AB), поэтому периметр прямоугольника КВМО равен:
периметр прямоугольника КВМО = 2х + 16 = 2·10 + 16 = 36 см
в) Чтобы найти периметр прямоугольника AKND, нам нужно знать длины его сторон. Так как точка О является центром симметрии, то стороны AK и DN равны. Обозначим длину стороны AK (и DN) через с, а длину стороны AN (и KD) через d. Тогда мы можем записать систему уравнений:
2с + 2d = периметр прямоугольника AKND
с = МР + KN = 4 + 6 = 10
d = х
Здесь мы использовали тот факт, что сторона AK (и DN) равна сумме сторон МР (и KN) и AB (и CD).
Решая эту систему, мы получаем:
с = 10
d = х
периметр прямоугольника AKND = 2с + 2d = 20 + 2х
Заметим, что мы уже знаем значение 2х (оно равно длине стороны AB), поэтому периметр прямоугольника AKND равен:
периметр прямоугольника AKND = 20 + 2х = 20 + 20 = 40 см
Таким образом, мы нашли периметры всех трех прямоугольников.
