Вопрос школьника
Точка О — центр вневписанной окружности треугольника ABC, угол ВАС равен 120°, периметр треугольника равен 20 см. Найдите АО.
Ответ от учителя
Вневписанная окружность треугольника ABC касается сторон AB, AC и BC в точках M, N и P соответственно. Так как точка О является центром этой окружности, то она лежит на перпендикуляре, опущенном из точки M на прямую BC. Аналогично, точка О лежит на перпендикуляре, опущенном из точки N на прямую AB, и на перпендикуляре, опущенном из точки P на прямую AC.
Пусть AM = x, BN = y и CP = z. Тогда периметр треугольника ABC равен x + y + z. Так как периметр равен 20 см, то x + y + z = 20.
Также из условия задачи известно, что угол ВАС равен 120°. Так как точка О является центром вневписанной окружности, то угол МОН равен половине угла ВМП, то есть 60°. Аналогично, угол НОР равен половине угла НРС, то есть 60°, и угол ПОМ равен половине угла ПМС, то есть 60°.
Таким образом, треугольник МОН является равносторонним, и MN = NO = OM = r, где r — радиус вневписанной окружности. Аналогично, треугольники НОР и ПОМ являются равносторонними, и NR = OR = OP = r и PM = OM = OP = r.
Так как AM = x, BN = y и CP = z, то BM = y + r, CN = x + r и AP = z + r. Также из равенства треугольников МОН, НОР и ПОМ следует, что x + r = y + r = z + r = r√3.
Тогда x = r(√3 — 1), y = r(√3 — 1) и z = r(√3 — 1). Подставляя эти значения в уравнение x + y + z = 20, получаем:
r(√3 — 1) + r(√3 — 1) + r(√3 — 1) = 20
3r(√3 — 1) = 20
r = 20 / (3√3 — 3)
Теперь найдем длину отрезка АО. Так как треугольник МОН является равносторонним, то AM = r√3. Также из равенства треугольников МОН и АОМ следует, что АО = 2r√3.
Подставляя значение r, получаем:
АО = 2(20 / (3√3 — 3))√3 ≈ 10,39 см.
Ответ: АО ≈ 10,39 см.
