Вопрос школьника
Точка О лежит на основании ВС равнобедренного треугольника ABC, а точки F и Е — на боковых сторонах АВ и АС соответственно так, что ОЕ || АВ и OF || АС. Вычислите длину боковой стороны треугольника, если PQFAE = 16 см.
Ответ от учителя
Поскольку треугольник ABC равнобедренный, то боковые стороны AB и AC равны между собой. Обозначим их длину через х. Тогда, поскольку ОЕ || АВ и OF || АС, треугольники ОЕА и ОФА подобны треугольнику ABC. Значит, отношение длины стороны ОА к длине стороны АВ (или АС) равно отношению длины стороны ОЕ к длине стороны ЕА (или ОФ к ФА). То есть:
OA/AB = OE/EA
OA/AC = OF/FA
Поскольку треугольник ABC равнобедренный, то точка О лежит на высоте, проходящей через вершину А и середину стороны BC. Обозначим эту середину через М. Тогда, поскольку треугольник ОАМ прямоугольный, то:
OA^2 = AM^2 + OM^2
Аналогично, поскольку треугольник АЕМ прямоугольный, то:
EA^2 = AM^2 + EM^2
Вычтем из второго уравнения первое и подставим значения отношений, полученные выше:
(EA^2 — OA^2)/EA = (EA — AB)/AB
EA^2 — OA^2 = EA^2 — 2EA*AB + AB^2
OA^2 = AB^2 — 2EA*AB
Аналогично, из уравнения для треугольника ОФА получаем:
OA^2 = AC^2 — 2FA*AC
Сравнивая два полученных уравнения, получаем:
AB^2 — 2EA*AB = AC^2 — 2FA*AC
Поскольку треугольник ABC равнобедренный, то AB = AC = х. Подставляем это значение и выражаем х:
x^2 — 2EA*x = x^2 — 2FA*x
2EA*x = 2FA*x
EA = FA
Теперь рассмотрим треугольник PQF. Он подобен треугольнику АЕF, так как угол PQF соответствует углу АЕF, а угол QPF соответствует углу FАЕ. Значит, отношение длины стороны PQ к длине стороны ФА равно отношению длины стороны PQ к длине стороны ЕА:
PQ/FA = PQ/EA
Подставляем значение EA = FA и длину стороны PQ = 16 см:
16/х = PQ/х
PQ = 16
Таким образом, длина боковой стороны треугольника ABC равна х = EA + AB = 2EA = 2FA = 2PQ = 32 см.
