Вопрос школьника
Точка О лежит на стороне АВ треугольника ABC. Через точку О проходит прямая, перпендикулярная отрезку АВ и пересекающая сторону АС в точке F так, что угол OFA = углу OFB. Вычислите периметр треугольника BFC, если АС = 60 см, ВС = 30 см.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам нужно найти длины сторон треугольника BFC. Обозначим точку пересечения прямой OF с стороной BC как точку G.
Так как OF перпендикулярна AB, то угол AFO прямой. Также, угол OFA равен углу OFB по условию задачи. Значит, угол BFO тоже прямой.
Таким образом, мы получаем, что треугольник BFO прямоугольный. Из этого следует, что BG = BO + OG, где BO = AB = 90 см (так как треугольник ABC прямоугольный), OG = AF (так как OF перпендикулярна AB). Значит, BG = 90 + AF.
Также, мы знаем, что угол OFA равен углу OFB, то есть угол BFO равен углу AFO. Значит, треугольники BFO и AFO подобны. Из этого следует, что BF/AF = BO/OF, то есть BF/AF = 90/OF. Значит, BF = 90AF/OF.
Теперь мы можем выразить BG через BF и AF: BG = BF + FG = BF + (AC — AF) = 90AF/OF + (60 — AF) = 60 + 90AF/OF — AF.
Осталось найти длину стороны FC. Заметим, что треугольники BFC и ABC подобны, так как у них соответственные углы равны (угол BFC равен углу ABC, угол CBF равен углу CAB). Значит, BF/AB = FC/BC, то есть FC = BC * BF / AB = 30 * 90AF / (60 * OF) = 45AF/OF.
Теперь мы можем выразить периметр треугольника BFC через AF и OF: P = BF + FC + BC = 90AF/OF + 45AF/OF + 30 = 135AF/OF + 30.
Осталось найти AF и OF. Заметим, что треугольники AFO и ABC подобны, так как у них соответственные углы равны (угол AFO равен углу ABC, угол AOF равен углу ACB). Значит, AF/AB = OF/BC, то есть AF/60 = OF/30, то есть AF = 2OF.
Таким образом, мы получаем, что AF = 2OF, BG = 60 + 90AF/OF — AF = 60 + 90/OF, FC = 45AF/OF = 90/OF, P = 135AF/OF + 30 = 270/OF + 30.
Осталось только найти OF. Заметим, что OF является высотой треугольника ABO, а площадь этого треугольника равна 1/2 * AB * AC = 1/2 * 90 * 60 = 2700. Значит, OF = 2 * S/AB = 2 * 2700/90 = 60.
Теперь мы можем найти периметр треугольника BFC: P = 270/60 + 30 = 9 + 30 = 39 см. Ответ: 39 см.
