Вопрос школьника
Точка О — основание перпендикуляра, проведённого из точки F окружности к диаметру АВ, АО = а, ВО = b. Докажите, что FO =√ab.
Ответ от учителя
Для доказательства того, что FO = √ab, можно воспользоваться теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника OFA:
OA² = OF² + AF²
Так как точка F лежит на окружности, то её расстояние до диаметра АВ равно радиусу окружности, то есть равно половине длины диаметра. Обозначим эту величину как r:
OF = r
Также из условия задачи известны длины отрезков АО и ВО:
AO = a
BO = b
Тогда можно записать:
OA² = OF² + AF²
(a + b)² = r² + AF²
Разложим левую часть по формуле квадрата суммы:
a² + 2ab + b² = r² + AF²
Выразим AF²:
AF² = a² + 2ab + b² — r²
Осталось заметить, что треугольник OFB является прямоугольным, так как угол OFB, опирающийся на диаметр, равен 90 градусам. Тогда по теореме Пифагора для этого треугольника:
OF² + FB² = OB²
r² + FB² = (a + b)²
FB² = (a + b)² — r²
Теперь подставим выражение для FB² в формулу для AF²:
AF² = a² + 2ab + b² — r² = (a + b)² — r² = FB²
Таким образом, мы получили, что AF² = FB², что означает, что отрезки AF и FB равны. Тогда:
FO = AF = FB = √(a + b)² — r² = √(a² + 2ab + b² — r²) = √ab
Таким образом, мы доказали, что FO = √ab.
