Вопрос школьника
Точка О поверхности шара удалена от концов его диаметра на 10 см и 24 см. Плоскость, проходящая через точку О и перпендикулярная данному диаметру, разбивает диаметр шара на два отрезка. Вычислите длины этих отрезков.
Ответ от учителя
Пусть диаметр шара равен D, а точка О находится на расстоянии 10 см и 24 см от концов диаметра. Тогда можно записать два уравнения:
$(D/2)^2 — 10^2 = r^2$
$(D/2)^2 — 24^2 = (D/2 — r)^2$
где r — расстояние от точки О до центра шара.
Решая эти уравнения, получаем:
$r = sqrt{(D/2)^2 — 10^2} = sqrt{(D/2)^2 — 24^2} + r — D/2$
$2r = sqrt{(D/2)^2 — 10^2} + sqrt{(D/2)^2 — 24^2}$
$D = frac{2r}{sqrt{1 — frac{10^2}{(D/2)^2}}} = frac{2r}{sqrt{1 — frac{24^2}{(D/2)^2}}}$
Решая это уравнение относительно D, получаем:
$D = frac{2sqrt{(r^2 + 24^2)}}{sqrt{1 — frac{10^2}{r^2 + 24^2}} + sqrt{1 — frac{24^2}{r^2 + 24^2}}}$
Теперь, зная D, можно найти длины отрезков диаметра, разбитого плоскостью, проходящей через точку О и перпендикулярной данному диаметру:
$l_1 = frac{D}{2} — 10$
$l_2 = frac{D}{2} — 24$
Таким образом, длины отрезков диаметра равны:
$l_1 = frac{sqrt{(r^2 + 24^2)}}{sqrt{1 — frac{10^2}{r^2 + 24^2}} + sqrt{1 — frac{24^2}{r^2 + 24^2}}} — 10$
$l_2 = frac{sqrt{(r^2 + 24^2)}}{sqrt{1 — frac{10^2}{r^2 + 24^2}} + sqrt{1 — frac{24^2}{r^2 + 24^2}}} — 24$
